Численных метод анализа электромагнитного поля
Хандамиров В.Л.
Численных метод анализа электромагнитного поля
В научном труде Фелсена Л. и Маркувица Н. «Излучение и рассеяние волн» [1] рассмотрены методы решения краевых задач электродинамики, основанные на использовании функций Грина. Применим этот подход для решения задачи дифракции на решетках полосковых проводников в плоскослоистых средах.
Для токов в элементарных периодических структурах из вибраторов, возбуждаемых плоской однородной волной, выполняется условие: , где распределение плотности тока по вибратору , - функция распределения тока по длине вибратора, - функция распределения тока по ширине вибратора, толщина которого предполагается пренебрежимо малой. Tx,Ty-периоды решетки по соответствующим осям, m,n-целые числа.
Для такого полоскового вибратора шириной при условии и , где - длина вибратора, можно принять Это значит, что плотность поверхностного тока распределена по ширине полоска равномерно. Считаем также, что в бесконечной двумерно-периодической решетке полосковых вибраторов токи имеют только одну составляющую, параллельную оси . При этом в возбуждаемой данной решетке волне вектор напряженности электрического поля имеет лишь - компоненту, а функция Грина согласно [1] и с учетом слоистого характера среды [2,3], имеет вид:
, где
Электрическая составляющая рассеянного поля, возбуждаемая электрическими токами вибраторов, имеющими единственную компоненту , ориентированную по оси , определяется по формуле:
Допустим, что материал проводников обладает идеальной проводимостью, поэтому омическими потерями в полосках можно пренебречь, и интегральное уравнение, определяющее граничные условия на поверхности вибраторов, можно записать в виде:
,
где - первичное возбуждаемое поле, существующее в отсутствии проводников, нагруженных сосредоточенными комплексными сопротивлениями .
Вследствие сложности ядра интегрального уравнения целесообразно для его решения использовать один из прямых вариационных методов, например, метод Галеркина. В соответствии с этим методом неизвестную функцию разложим в ряд по функциям некоторого базиса (обобщенный ряд Фурье): ,
где , - количество подобластей на длине вибратора, - амплитудное значение тока на вибраторе в точке с координатой .
В рассматриваемом случае решетки из электрических вибраторов базисные функции выбраны таким образом, чтобы они обращались в нуль на концах вибратора. В качестве базисных функций подобластей используются кусочно-синусоидальные функции вида [3]:
где - длина -й подобласти, на которые разбивается вибратор. Для случая равномерного разбиения , где g общее число подобластей. Подставив полученное распределение в некотором –ом вибраторе ячейки Флоке, в интегральное уравнение, получим выражение:
Для решения данной задачи методом Галеркина в качестве весовых функций также используется система кусочно-синусоидальных функций подобластей.
Последовательное умножение уравнения на элементы системы весовых функций с единичными амплитудами и вычисление получающихся скалярных произведений позволяет свести задачу решения интегрального уравнения к решению системы линейных алгебраических уравнений вида:
где означает операцию вычисления скалярного произведения, под которой понимается интегрирование в пределах области определения весовой функции ее произведения на результат воздействия интегрального оператора на разложение тока; - интегральный оператор. Полагаем, что на концах вибратора ток равен нулю, т.е. Необходимо вычислить элементы матрицы обобщенных импедансов:
где ; ; - число подобластей на -ом вибраторе ячейки Флоке ; и - длины подобластей -го и -го вибраторов при их равномерном разбиении.
Если в ячейке Флоке расположен один вибратор, то соотношение принимает вид:
, где , и
В этом уравнении используются и , полученные из соотношений.
Для нахождения слагаемых в, которым соответствует , используя выражение:
,
а для слагаемого с - выражение:
При определении полагаем, что решетка возбуждается падающей нормальной плоской однородной волной. Напряженность внешнего поля на поверхности вибраторов нейдем методом частичных областей.
Напряженность электрического и магнитного полей в первой полу бесконечной области представляется суммой падающей и отраженной волны:
Напряженность электрического и магнитного полей в слое II:
Аналогично находятся и для каждого слоя плоскослоистой структуры.
Если рассматривается структура с одним диэлектрическим слоем, то в третьей полубесконечной области существует только прошедшая волна:
На поверхностях диэлектрического слоя должны выполняться граничные условия для тангенциальных составляющих электрического и магнитных полей:
Для
для
Аналогичные условия записываются для всех границ диэлектрических слоев.
При наличии у диэлектрической подложки проводящего экрана прошедшее поле отсутствует, и, следовательно, .
Решением этих уравнений являются амплитуды бегущих волн. Зная эти амплитуды, находим поле в требуемой области плоскослоистой структуры.
Определив напряженность поля в плоскости расположения вибраторов, можно найти элементы правой части матричного уравнения:
Если в вибратор в точке с координатой включено сосредоточенное сопротивление , то элемент с номером правой части матричного уравнения примет вид:
Подынтегральная функция определена для , лежащих в интервале , а функция - для . Но в точке значение обеих функций совпадают. Следовательно, учитывая основное свойство –функции, можно записать:
Полученное выражение объединяется с собственным импедансом матрицы взаимныхимпедансов, при этом сохраняются неизменными все остальные элементы матричного уравнения.
Определив распределение тока по вибратору, найдем напряженности электрических полей распространяющихся собственных волн. При этом считаем, что не распространяющиеся собственные волны (с мнимым ) затухают по мере удаления от решетки. Рассеянное поле определяется по формуле или
Если в ячейке Флоке расположено несколько элементов, то при этом она обычно имеет размеры, при которых существует больше одной распространяющейся пространственной гармоники. Так, в случае расположения элементов вдоль оси , напряженности электрических полей для распространяющихся гармоник находятся из соотношения:
где и – координаты точек наблюдения, - координата одной из граней –го полоска, по которому протекает ток .
В этом уравнении используются и , полученные из соотношений [2].
Если , то
Если (волна, распространяющаяся по нормали к решетке), то выражение для напряженности рассеянного поля имеет вид:
Полное поле представляет собой суперпозицию рассеянного поля и поля, определяемого соотношениями (2.20).
Список литературы
1. Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. М.: Мир, 1978, 548 с.
2. Синюшин В.В., Тягунов В.А., Хандамиров В.Л. Характеристики рассеяния решеток проводников, нагруженных полными сопротивлениями. Труды МГТУ. М.: Издательство «Мир», Издательство МГТУ, 1990.
3. Хандамиров В.Л. Информационные технологии в решении краевых задач математической физики. Материалы Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии в образовании и науке».-М.: МФА, 2006. Ч.3, с.475.
